1月13日，西安交通大学数学与统计学院陈红斌教授与澳门大学桂长峰教授、华南理工大学姚若飞副教授合作的论文Uniqueness of critical points of the second Neumann eigenfunctions on triangles（《三角形上第二类Neumann特征函数临界点的唯一性》）被世界四大顶尖数学期刊之一的Inventiones Mathematicae（《数学新进展》）在线发表。这是数学与统计学院自2020年以来，第二次有教师的高水平成果在数学四大顶刊上获得接收发表，同时也是西安交通大学及数学与统计学院大力推动基础研究领域取得的又一重要突破。

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论文聚焦于美国数学家Rauch于1974年提出的著名“热点猜想”。该猜想源于对绝热房间温度扩散的数学建模：温度演化满足带有Neumann边界条件的热方程，在时间足够长时，温度分布主要由拉普拉斯算子的第二Neumann特征函数主导。因此，热点猜想可等价表述为：在平面单连通区域或高维凸区域中，第二Neumann特征函数的最大值与最小值只能在区域边界取得。

该问题提出后长期进展缓慢，直到20世纪90年代末才出现突破性成果，包括基于布朗运动反射耦合的概率方法、连续方法结合Nodal line分析与调和分析、Lip区域的概率方法、轴对称区域的复分析方法以及圆盘摄动区域的非线性方程分析等。尽管已有诸多进展，但关于锐角三角形的热点猜想在本研究之前仍未得到完整解决；三角形作为最简单的平面区域，是检验研究方法的重要试金石，因此该问题备受关注。是国际数学界公认的长期悬而未决的重要猜想。

热点猜想因涉及偏微分方程、谱理论、数学物理、微分几何及Morse理论等多个领域，被列入《10000个科学难题·数学卷》，陈红斌与合作者的目标不仅是解决热点猜想本身，更希望建立一套可用于研究相关偏微分方程定性理论（如混合边值问题的单调性、对称性等）的方法。他们历经十三年积累与坚持，在多次停滞与修正中不断推进研究，最终完成该项成果。

该研究以平面三角形T的第二Neumann特征函数u为对象，证明：u至多存在一个非顶点临界点，并在三角形内部沿某方向单调。更具体地，当T非等边三角形时，u在某顶点取零当且仅当T为“超等边”三角形；而u存在非顶点临界点当且仅当T为锐角且非超等边三角形。这些结果不仅验证了Judge与Mondal的原定理，同时研究解决了Polymath7项目（专题 1）关于“极值仅在最长边端点取得”的目标，并证明了Siudeja关于三角形混合Dirichlet–Neumann Laplacian特征值排序的猜想。整个证明综合运用了连续性方法、特征值不等式、最大值原理及移动平面法等多种技术。

该成果的取得离不开学校和学院长期以来对基础数学研究的支持。近年来，数学学院加快推进基础数学发展，通过实施“基础数学振兴计划”，引进拔尖创新人才，构建宽松包容、潜心致研的学术生态，鼓励师生潜心钻研、追求原始创新，为建设一流学科和推动高水平科技自立自强贡献了坚实的交大数学力量。

作者介绍：

陈红斌，西安交通大学数学与统计学院教授、博士生导师，1992年获复旦大学数学系博士学位，长期从事非线性椭圆方程定性理论与谱理论的研究。

桂长峰，澳门大学数学系讲座教授，数学系主任，博士生导师。长期致力于非线性偏微分方程的研究，在Allen-Cahn方程的研究、Moser-Trudinger不等式最佳常数的猜想、De Giorgi猜想和Gibbons猜想等方面取得了一系列重要成果。

姚若飞，获得西安交通大学学士和博士学位，博士期间师从陈红斌教授，后在中南大学从事博士后研究，2020年12月入职华南理工大学，被聘为准聘副教授。研究方向为偏微分方程理论及其应用。

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01398-x